I’ve served as an instructor at the wonderful week dedicated to the “athletes” from the surroundings of the province of Vicenza competing in the Mathematics Olympiad. Great fun! I taught three lectures on graph theory and topology - see here the old man talking ‘pretzel topology’.

Ho partecipato a “SuperMath2009″, la settimana dedicata agli “olimpionici matematici” del vicentino - un iniziativa fantastica, in un luogo ideale (istituto Filippin a Paderno del Grappa), in collaborazione con l’istituto ideale (l’istituto di ricerche didattiche “Ugo Morin”).

Complementi e soluzioni

• Fullereni: Esiste un poliedro con 12 facce pentagonali e m facce esagonali per ogni m≠1! Tali poliedri possono essere esplicitamente costruiti (Goldberg, 1937), mentre si può dimostrare che non esistono “scheletri” di poliedri dove ad ogni vertice arrivano tre spigoli e dove tutte le facce meno una hanno lo stesso numero di lati (Grünbaum e Motzkin, 1963), che dimostra anche l’impossibilita’ del caso m=1.
• Grafi planari: Qui dapprima una pagina con un paio di programmini per generare certi tipi di grafi planari.
• Soluzione: il grafo completo su 5 vertici non è planare perchè - in modo simile a quanto fatto in classe - in un disegno planare di tale grafo “meno un arco” si vede che l’arco mancante deve collegare due vertici che si trovano all’interno e all’esterno di un ciclo - di nuovo, per Jordan questo arco deve intersecare il ciclo.
• Precisazione: Un grafo planare e semplice(*) G è lo scheletro di un poliedro se e solo se per ogni paio di vertici v≠w di G esistono almeno 3 cammini da v a w disgiunti tra loro. (Teorema di Steinitz) [(*)ovvero: senza archi doppi o archi che partono e arrivano nello stesso vertice ]
• Un libro da non mancare! Courant, Robbins, “Cos’è la matematica”. Bollati Boringhieri, 2000, 671 p. (20 Euro da ibs.it)